Theorie der Lie-Gruppen

Quelle: Wikipedia. Seiten: 25. Kapitel: Lie-Algebra, Lie-Gruppe, Kommutator, Orthogonale Gruppe, Matrixexponential, Lorentz-Gruppe, Möbiustransformation, Allgemeine lineare Gruppe, Derivation, Zentrum, Virasoro-Algebra, Poincaré-Gruppe, Laurent-Polynom, Casimir-Operator, Spezielle unitäre Gruppe, Semidirekte Summe, Jordan-Chevalley-Zerlegung, Spezielle lineare Gruppe, Konforme Gruppe, Jacobi-Identität, Lie-Theorie, Lie-Algebra sl(2,C), Witt-Algebra, Dynkin-Index, Heisenberg-Algebra. Auszug: Die orthogonale Gruppe O(n) ist die Gruppe der orthogonalen -Matrizen mit reellen Koeffizienten. Es handelt sich um eine Lie-Gruppe der Dimension . Da die Determinante einer orthogonalen Matrix nur die Werte ±1 annehmen kann, zerfällt O(n) in die beiden disjunkten Teilmengen (topologisch: Zusammenhangskomponenten) Die Untergruppe SO(n) heißt die spezielle orthogonale Gruppe. Insbesondere ist die SO(3) als die Gruppe aller Drehungen um eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Achse im dreidimensionalen Raum von großer Bedeutung in zahlreichen Anwendungen, wie etwa der Computergraphik oder der Physik. Ausgehend von einem n-dimensionalen euklidischen Vektorraum V mit einem Skalarprodukt definiert man: Ein Endomorphismus heißt orthogonal, falls f das Skalarprodukt erhält, also falls für alle in gilt . Eine lineare Abbildung erhält genau dann das Skalarprodukt, wenn sie längen- und winkeltreu ist. Die Menge aller orthogonalen Selbstabbildungen von V heißt die orthogonale Gruppe von V, geschrieben als O(V). Bezüglich einer Orthonormalbasis von V werden orthogonale Endomorphismen durch orthogonale Matrizen dargestellt. Gleichbedeutend hierzu ist folgende Formulierung: Versieht man den mit dem Standardskalarprodukt, so ist die Abbildung genau dann orthogonal, wenn die Matrix A orthogonal ist. Jede orthogonale Matrix ist gleichzeitig natürlich auch eine unitäre Matrix mit reellen Koeffizienten. Damit entspricht sie einer unitären Abbildung Nach dem Spektralsatz für endlich dimensionale unitäre Räume ist als unitäre Matrix diagonalisierbar. Die dabei auftretenden Diagonalelemente mit sind genau die Eigenwerte von . Diese sind aber notwendig vom Betrag Eins (vgl. unitäre Matrix). Sie lassen sich daher in der Form für gewisse, bis auf die Reihenfolge eindeutige Winkel schreiben. Da die Matrix nur reelle Koeffizienten besitzt, treten dabei die nichtreellen Eigenwerte in Paaren zueinander konjugierter komplexer Zahlen auf. Im Reellen ist in der Regel nicht diagonalisierbar,