Sur les Systèmes Elliptiques Quasi-Lineaires avec Exposant Critique

Sommaire: L'objectif de ce travail est d'étudier l'existence et la multiplicité des solutions positives de quelques systèmes avec l'opérateur (p,q)-Laplacien ou un opérateur anisotropique dans les cas sous-critiques et critiques de Sobolev. Au Chapitre 1, on a considéré un système sous-crititique dans un domaine borné et on a construit deux suites de Palais-Smale sur la variété de Nehari convergeant fortement dans l'espace produit vers les solutions du système. Au Chapitre 2, on a étudié le même système avec des conditions critiques de Sobolev dans lR^N. On a pu montré l'existence d'au moins une solution positive et une autre solution lorsque p=q. Au Chapitre 3, on a généralisé l'étude faite par Brézis-Nirenberg pour une équation à un système. On a aussi pu donner une définition plus générale à la notion du niveau critique. Le dernier chapitre est consacré à une nouvelle classe de systèmes d'équations elliptiques et anistropiques (où les puissances dépendent de la direction) avec exposants différents. On a montré l'existence et la régularité des solutions faibles positives.