Stochastische Prozesse auf selbstähnlichen Mengen

Diplomarbeit aus dem Jahr 2007 im Fachbereich Mathematik - Stochastik, Note: sehr gut, Philipps-Universität Marburg (Fachbereich Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: Der Begriff ¿Fraktal¿ wurde in den 70er Jahren von Mandelbrot in seinem Buch ¿The fractal geometry of nature¿ geprägt. Obwohl es keine präzise Definition eines ¿Fraktals¿ gibt, hat es Einzug in unseren Sprachgebrauch gefunden. Erstes Interesse an den Eigenschaften von Prozessen auf Fraktalen kam von mathematischen Physikern auf, die sich fragten, wie sich beispielsweise Wärme oder eine Flüssigkeit auf Fraktalen ausbreitet.

Um diese Fragen zu beantworten, braucht man die Theorie der ¿Analysis auf Fraktalen¿. Die Ausbreitung von Wärme lässt sich durch die Wärmegleichung beschreiben. Ist der Definitionsbereich des Laplace-Operators allerdings ein Fraktal, ergibt sich z.B. das Problem, dass Kurven wie das Sierpinski Dreieck oder die KochKurve nicht glatt sind. Solche Schwierigkeiten zu beheben ist eine neue Herausforderung in der Mathematik, der sich die Analysis auf Fraktalen und insbesondere die Untersuchung stochastischer Prozesse auf selbstähnlichen Mengen widmet.