Riemannsche Geometrie

Quelle: Wikipedia. Seiten: 28. Kapitel: Riemannscher Krümmungstensor, Metrischer Tensor, Christoffelsymbole, Levi-Civita-Zusammenhang, Schnittkrümmung, Zweite Fundamentalform, Geodäte, Riemannsche Mannigfaltigkeit, Sphärensatz, Schnittort, Jacobifeld, Hodge-Stern-Operator, Paralleltransport, Hodge-Zerlegung, Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit, Riemannsche Normalkoordinaten, Satz von Bonnet-Myers, Killing-Vektorfeld, Satz von Hopf-Rinow, Exponentialabbildung, Einsteinsche Mannigfaltigkeit, Konformes Killing-Vektorfeld, Verzerrtes Produkt, Einbettungssatz von Nash. Auszug: In der Differentialgeometrie sind die Christoffelsymbole, nach Elwin Bruno Christoffel (1829-1900), Hilfsgrößen zur Beschreibung der kovarianten Ableitung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Ihre definitorische Eigenschaft besteht in der Forderung, dass die kovariante Ableitung des metrischen Tensors verschwindet. Der Hauptsatz der riemannschen Geometrie stellt sicher, dass sie durch diese Definition eindeutig bestimmt sind. In der allgemeinen Relativitätstheorie ermöglichen die Christoffelsymbole die Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem Gravitationsfeld, auf die keine weiteren äußeren Kräfte einwirken. Es kann sich dabei sowohl um massive als auch masselose Teilchen handeln. Masselos wird als Synonym für Teilchen mit verschwindend kleiner Ruhemasse verwendet. In diesem Artikel wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet. In der klassischen Differentialgeometrie wurden die Christoffelsymbole erstmals für gekrümmte Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert. Sei also eine orientierte reguläre Fläche und eine Parametrisierung von . Die Vektoren und bilden eine Basis der Tangentialebene , und mit wird der Normalenvektor zur Tangentialebene bezeichnet. So bilden die Vektoren eine Basis des . Die Christoffelsymbole , werden bezüglich der Parametrisierung dann durch das folgende Gleichungssystem definiert: Schreibt man für , für und für , für , usw., so lassen sich die definierenden Gleichungen zusammenfassend als schreiben. Aufgrund des Satzes von Schwarz gilt , d.h., , und daraus folgt die Symmetrie der Christoffelsymbole, was und bedeutet. Die Koeffizienten sind die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform. Sei eine Kurve bezüglich der gaußschen Parameterdarstellung , so ist der tangentiale Anteil ihrer zweiten Ableitung durch gegeben. Durch Lösen des Differentialgleichungssystems findet man also die Geodäten auf der Fläche. Die im vorigen Abschnitt definierten Christoffelsymbole kann man auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. Sei also