Räume stetiger Funktionen und Approximation auf kompakten Mannigfaltigkeiten

Es sei M der Einheitskreis in der komplexen Ebene. M ist eine eindimensionale Riemann­ ix sehe Mannigfaltigkeit mit der Metrik e (ql, q2) = I (Xl - X2) + 2 kn I , wobei ql = e ] , q2 = eixz und die ganze Zahl k so gewählt ist, daß I Xl - X2 + 2 kn I ~ n. Ist feine auf M definierte Funktion, so kann man bezüglich dieser Metrik den Stetigkeits modul vonfbilden. Er gibt ein Maß für die Glätte vonfan. Der Satz von ]ACKSON verknüpft die Glätteeigenschaften von f mit der Geschwindigkeit der besten Approximation durch trigonometrische Polynome. Ist Es (!) = inf {sup I f (q) - t (q) I; t trig. Po- s s qeM nom vom Grade ~ s} und fE ce (M), d. h. f(e) ist stetige Funktion auf M, so folgt EsCf) ~ ce(s + 1)-e w«s + l)-I,j(e». ex Also erhalten wir für w(t,j(e» = O(t ), 0< oe ~ 1, Es Cf) = 0 (s-(e+ex» . Umgekehrt erlaubt der Satz von BERNSTEIN von einer vorgegebenen Abschätzung Es(f) = O(s-(Q+ex», 0 < oe < 1, auf die Stetigkeit der e-ten Ableitung von f mit ex w(t,j