Problèmes variationnels avec des conditions aux limites périodiques

Différents problèmes issus de la mécanique des milieux continus et de plusieurs branches de l''ingénierie présentent des solutions qui sont de nature périodique dans l''espace. Nous présentons une approche efficace de résolution d''un problème elliptique d''EDP ayant une solution périodique. Les conditions aux limites périodiques sont traitées comme des contraintes que devra satisfaire la solution du problème considéré. Le problème périodique est transformé en un problème d''optimisation convexe et écrit sous la forme classique de minimisation quadratique. Les problèmes continus sont discrétisés par la méthode des éléments finis alors que le traitement des conditions périodiques est accompli par la méthode des multiplicateurs de Lagrange du lagrangien augmenté. Les matrices décrivant les contraintes de périodicité prennent des formes différentes en fonction de la nature conforme ou non-conforme du maillage des interfaces périodiques. Pour trouver le point de selle associé au problème de minimisation, deux approches différentes sont testées : l''algorithme itératif d''Uzawa et l''approche globale. Des méthodes de résolution directes et itératives sont également étudiées.