Problèmes elliptiques d'ordre supérieur sur les variétés Riemaniennes

L'étude des équations aux dérivées partielles se trouve à l'interface de nombreux problèmes d'origines purement géométriques. En effet, la plupart des problèmes issus de la géométrie conforme sont formulés à l'aide d'équations non linéaires critiques comme le problème de Yamabe, le problème de la courbure scalaire prescrite et le problème de la Q- courbure prescrite. La résolution de ces problèmes est l'objet de l'analyse non linéaire sur les variétés Riemanniennes. Dans cette thèse, on s'intéresse à l'existence de solutions nodales de deux problèmes elliptiques de Dirichlet sur une variété Riemannienne compacte à bord, le premier problème contenant l'opérateur de type Paneitz-Branson et le deuxième problème contenant l'opérateur polyharmonique de type Graham-Jenne-Mason-Sparling (en abrégé GJMS). Les deux problèmes ont la particularité de contenir l¿exposant critique de Sobolev; ce qui nous conduit a utiliser l¿approche variationnelle développée par H. Yamabe.