Polyeder

Quelle: Wikipedia. Seiten: 49. Kapitel: Archimedischer Körper, Catalanischer Körper, Platonischer Körper, Tetraeder, Prisma, Pyramide, Ikosaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Kuboktaeder, Parallelepiped, Quader, Johnson-Körper, Hexakisoktaeder, Hexakisikosaeder, Würfel, Rechtkant, Rhomboederstumpf, Oktaederstumpf, Pentagonhexakontaeder, Pentagonikositetraeder, Deltoidalikositetraeder, Abgeschrägtes Hexaeder, Abgeschrägtes Dodekaeder, Pentakisdodekaeder, Deltaeder, Triakisikosaeder, Tetrakishexaeder, Deltoidalhexakontaeder, Tetraederstumpf, Triakistetraeder, Triakisoktaeder, Rhombendodekaeder, Rhombenkuboktaeder, Keil, Rhombenikosidodekaeder, Hexaederstumpf, Großes Rhombenikosidodekaeder, Ikosaederstumpf, Rhombentriakontaeder, Großes Rhombenkuboktaeder, Dodekaederstumpf, Sterntetraeder, Trapezoeder, Pyramidenstumpf, Prismatoid, Kuppel, Sternkörper, Disphenoid, Trigondodekaeder, Skalenoeder. Auszug: Die Platonischen Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon) sind die Körper von größtmöglicher Symmetrie. Sie werden von lauter kongruenten Vielecken begrenzt. Zuweilen werden sie auch als reguläre Körper (von lat. corpora regularia ) bezeichnet. Es zeigt sich, dass es (bis auf Ähnlichkeit) genau fünf Platonische Körper gibt. Ihre Namen geben auf griechisch die Anzahl ihrer Flächen wieder: Platonische Körper sind konvexe Polyeder. Ihre Seitenflächen sind regelmäßige, zueinander deckungsgleiche Vielecke. In jeder Ecke des Körpers treffen jeweils gleich viele Kanten zusammen. Siehe auch: Archimedischer Körper In diesem Artikel liegt der Schwerpunkt hauptsächlich auf den gemeinsamen Eigenschaften und den Beziehungen der Körper untereinander. Eingehender werden die einzelnen Körper unter ihren jeweiligen Einträgen behandelt. Zwei platonische Körper vom selben Typ sind zueinander ähnlich, d. h., ein platonischer Körper ist durch die Angabe einer einzigen Größe, beispielsweise Kantenlänge, Körpervolumen oder Umkugelradius, bereits eindeutig bestimmt. In diesem Sinne ist es also gerechtfertigt, von dem Tetraeder, dem Hexaeder usw. zu sprechen. Unter den Bedingungen, dass die Oberfläche nur aus gleichen und regelmäßigen Polygonen besteht, an jeder Ecke jeweils gleich viele Kanten zusammentreffen und der Körper konvex (frei von Einbuchtungen) ist, gibt es genau fünf platonische Körper. Der Beweis dafür findet sich schon bei Euklid. Er beruht auf folgenden Überlegungen: Sind also bei einem Körper alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke (Innenwinkel 60°), so können daher an einer Ecke drei, vier oder fünf Dreiecke (Winkelsumme 180°, 240°, 300°) zusammentreffen. Sind die Seitenflächen Quadrate (Innenwinkel 90°) oder regelmäßige Fünfecke (Innenwinkel 108°), so können davon jeweils drei zusammentreffen (Winkelsumme 270° bei Quadraten bzw. 324° bei Fünfecken). Sechs gleichseitige Dreiecke, vier Quadrate und drei regelmäßige Sechsecke (Innenwinkel 120°) ergeben jeweils gen