Nonlinear Spectral Theory

Aufgrund der herausragenden Bedeutung der Spektraltheorie linearer Operatoren in vielen Bereichen der Mathematik und Physik ist es nicht verwunderlich, dass verschiedene Versuche unternommen wurden, Spektren auch für nichtlineare Operatoren zu definieren und zu untersuchen. Dieses Buch bietet eine umfassende und in sich abgeschlossene Behandlung der Theorie, Methoden und Anwendungen der nichtlinearen Spektraltheorie.

Im ersten Kapitel wird eine kurze Wiederholung der Definition und Eigenschaften des Spektrums und verschiedener Subspektren für gebundene lineare Operatoren vorgenommen. Im Anschluss werden einige numerische Eigenschaften für nichtlineare Operatoren eingeführt, die für die Beschreibung der Operatorenklassen nützlich sind, für die eine Spektraltheorie existiert. Da Spektralwerte eng mit den Lösbarkeitsresultaten für Operatorengleichungen zusammenhängen, werden verschiedene Bedingungen für die lokale oder globale Invertierbarkeit eines nichtlinearen Operators im dritten Kapitel aufgestellt. Die folgenden zwei Kapitel betreffen Spektren für bestimmte Klassen von stetigen, Lipschitz-stetigen und Differentialoperatoren. Diese Spektren passen jedoch einfach die entsprechenden Definitionen der linearen Theorie an, was ihre Anwendbarkeit in gewisser Weise einschränkt. Andere Spektren, die auf eine vollständig unterschiedliche Weise definiert werden, jedoch nützliche Anwendungsmöglichkeiten aufzuweisen scheinen, werden in den folgenden vier Kapiteln definiert und untersucht. Die restlichen drei Kapitel sind mehr auf die Anwendung ausgerichtet und behandeln nichtlineare Eigenwertprobleme, numerische Bereiche und ausgewählte Anwendungen für nichtlineare Probleme.

Die einzigen Voraussetzungen für das Verständnis dieses Buchs sind gewisse Vorkenntnisse in Funktionsanalyse und Operatorentheorie. Es ist für Nicht-Fachleute gedacht, die einen Überblick über die Entwicklung der Spektraltheorie für nichtlineare Operatoren in den letzten 30 Jahren sowie einen kurzen Abriss über die verschiedenen Richtungen, in die sich die Forschung derzeit bewegt, erhalten möchten.