Les ensembles paradoxaux

Un ensemble paradoxal peut être découpé en un nombre fini de morceaux et en déplaçant ceux-ci de manière adéquate, par l'intermédiaire d'un groupe, nous obtenons deux ensembles disjoints et identiques au premier. En utilisant le groupe des isométries, nous dupliquons cet ensemble. Nous étudions l'existence de tels ensembles pour ce groupe : la droite ne peut contenir d'ensemble paradoxal ; le plan en contient mais il ne peut être que d'intérieur vide, pour la topologie euclidienne ; dans les espaces topologiques euclidiens canoniques de dimension supérieure ou égale à 3, tout ensemble borné, d'intérieur non-vide est paradoxal (Banach-Tarski). Ce dernier résultat utilise l'axiome du choix. Sans celui-ci nous démontrons, dans ces mêmes espaces canoniques, que deux ouverts non-vides et bornés contiennent chacun un ouvert dense, de telle façon qu'il existe une partition de l'un de ces ouverts denses sur laquelle, en appliquant des isométries adéquates, nous obtenons une partition de l'autre ouvert dense (Dougherty-Foreman). Des résultats intermédiaires sur des espaces topologiques et vectoriels, ainsi que des liens avec les mesures exhaustives et les groupes moyennables sont établis.