Inégalités de type von Neumann, image numérique de rang supérieur

Ce travail s'inscrit dans le domaine de la théorie des opérateurs. L'un des opérateurs qui m'a particulièrement intéressé est l'opérateur modèle S(f) qui désigne la compression du shift unilatéral S sur l'espace modèle H(f) où f est une fonction intérieure. L'étude du rayon numérique de S(f) semble être importante comme l'illustre bien un résultat dû à C. Badea et G. Cassier qui montre qu'il existe un lien entre le rayon numérique de tels opérateurs et l'estimation des coefficients des fractions rationnelles positives sur le tore. Nous fournissons une extension de leur résultat et nous trouvons une expression explicite du rayon numérique de S(f) dans le cas particulier où f est un produit de Blaschke fini avec un unique zéro. Dans le cas général où f est un produit de Blaschke fini quelconque, une estimation optimale du rayon numérique de S(f) est donnée. Dans la deuxième partie on s'est intéressé à l'image numérique supérieur de rang k d'un opérateur borné T qui est l'ensemble de tous les nombres complexes z satisfaisant PTP=zP pour une certaine projection orthogonale P de rang k. Des résultats concernant l'image numérique de rang supérieur du shift tronqué sont fournis.