Grup-Grupoidler, Çapraz Modüller ve Schreier Grupoidleri

Baz¿ ¿artlar¿ sälayan bir grup homomorfizmi gruplar¿n bir çapraz modülü (crossed module) olarak bilinir. Bu kavram ilk olarak 1946 larda Whitehead taraf¿ndan tan¿t¿lm¿¿t¿r. Tüm çapraz modüllerin s¿n¿f¿ bir kategori olu¿turur. Baz¿ kategoriler bu kategoriye denk oldu¿undan baz¿ kategorik problemler cebirsel bir yap¿ya dönü¿ür. Bu ise çapraz modüllerin önemli say¿lmas¿n¿n gerekçelerinden biridir. Kategori teorisinin tarihçesi çok eski olmamakla birlikte matemati¿in birçok sahas¿nda kullan¿m alan¿ bulmu¿tur. Her morfizmi bir izomorfizm olan özel bir kategoriye bir grupoid denir. Grupoid, gruptan daha genel bir kavram olarak çok objeli bir grup olarak da dü¿ünülebilir. Objeleri ve morfizmleri ayn¿ kategorilerinin objeleri olan kategoriler tan¿mlanabilir. Bu kategoriler iç kategoriler olarak bilinir. Örne¿in gruplar¿n kategorisindeki bir iç kategori bir grup grupoid olarak tan¿mlan¿r. Bu kitapta grup grupoid ve çapraz modüllerin kategorisinin denk olduklar¿ verilmi¿tir. Buna ilaveten çapraz yar¿modül kategorisi ve schreier internal kategorilerin kategorisi tan¿t¿lm¿¿ ve yine literatürden yararlanarak bunlar¿n denk oldu¿u gösterilmi¿tir.