Fonctions harmoniques d'un alpha-processus sur un domaine borné

Ce travail trouve son origine dans les travaux de J.Glover, M.Rao, H.Sikic, R.Song en 1994 et J.Glover, Z.Pop-Stojanovic, M.Rao, H.Sikic, R.Song, Z.Vondräek en 2004. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques notions fondamentales de probabilité et nous présentons quelques résultats concernant les processus de Markov. Dans le second chapitre, nous donnons quelques propriétés du alpha-potentiel d'une fonctionnelle additive associée au processus du mouvement Brownien sur un domaine de IR^n. On définit le noyau potentiel et on donne une représentation des fonctions alpha-harmoniques. On achève ce chapitre par établir une relation entre les fonctions alpha-harmoniques et les solutions continues de l'équation fractionnaire homogène. Dans le dernier chapitre, on étudie la classe des fonctions harmoniques associées au processus subordonné au mouvement Brownien tué à la première sortie d'un domaine. On démontre une inégalité de Harnack et on établit un principe de Harnack à la frontière pour cette classe de fonctions. Les outils et les techniques utilisés dans ce travail viennent à l'interface de la théorie des processus de Markov et la théorie du potentiel.