Fonctions critiques et EDP elliptiques sur les variétés Riemanniennes

Cet ouvrage traite de la résolution d'EDP elliptiques non linéaires, issues du problème de Yamabe, sur les variétés Riemanniennes compactes. Ces équations sont liées à l'étude de la courbure scalaire dans les changements de métrique conformes. Pour résoudre ces équations, on utilise généralement des méthodes variationnelles, associées aux inclusions de Sobolev, et l'on cherche des solutions d'énergie minimale. Ces problèmes ont été étudiés entre autres par T. Aubin, M. Vaugon, E. Hebey, O. Druet. Dans le travail ici présenté, on s'intéresse aux cas limites normalement non résolus par ces méthodes, en utilisant la notion de fonction critique introduite par E. Hebey et M. Vaugon. En utilisant des résultats récents sur les phénomènes de concentration, et en en démontrant de nouveaux, plusieurs résultats d'existence sont obtenus. Plusieurs problèmes connexes sont également abordés, étendant la portée de la notion de fonctions critiques.