Das Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit und Anwendungen auf Symmetriefragen

Inhaltsangabe:Gang der Untersuchung:

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit für elliptische Differentialoperatoren L, d.h. mit folgender Eigenschaft für Lösungen u von Lu = 0

Im ersten Kapitel werden zunächst die unterschiedlichen Formulierungen der Prinzipien der eindeutigen Fortsetzbarkeit dargelegt. Im Anschluss behandelt dieses Kapitel die Entwicklung der Voraussetzungen an den Operator L, unter denen das Prinzip gilt - angefangen vom klassischen Theorem von Holmgren [Ho] bis hin zum semilinearen Fall von Kurata in [Ku1] und [Ku2] und zum quasilinearen Fall von Ling [Li]. Dabei wird ein Überblick über die unterschiedlich strukturierten Differentialoperatoren geliefert, für die die Gültigkeit des Prinzips der eindeutigen Fortsetzbarkeit gezeigt wurde.

Im zweiten Kapitel wird der Zusammenhang zwischen den Formulierungen 1 und 2 des Prinzips allgemein erläutert.

Im dritten Kapitel wird die herkömmliche Beweismethode nach der Idee von Carleman mittels Integralungleichungen dargelegt. Diese wird anhand der semilinearen Differentialgleichung präsentiert, wobei f einer Lipschitzbedingung genügen muss. Eine Schlüsselrolle in dem Beweis spielen Integralungleichungen, wie sie in Lemma 3.1 vorkommen. Der Beweis dieser Ungleichungen erfolgt ziemlich umständlich unter Ausnutzung von Kugelfunktionen.

Eine elegantere Beweismethode von Garofalo und Lin ([GL1] und [GL2]), die Ideen aus der Geometrie und der Variationsrechnung benutzt, ist Inhalt des vierten Kapitels. Dort wird das Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit für semilineare Differentialgleichungen bewiesen. Der Beweis beruht auf einer sogenannten Verdopplungsbedingung, die in Theorem 4.2 formuliert wird.

Im fünften Kapitel wird die gleiche Beweisidee ausgenutzt, um das Prinzip für den quasilinearen Differentialoperator zu beweisen.

Die Aussage von Kapitel 3 ist globaler Natur, wogegen die Aussagen aus Kapitel 4 und 5 lokalen Charakter haben.

Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:

Einleitung1

Kapitel 1:Entwicklung der Voraussetzungen für das Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit3

Kapitel 2:Zusammenhang zwischen den Formulierungen des Prinzips19

Kapitel 3:Globale Beweismethode nach Carleman mittels Integralungleichungen27

Kapitel 4:Lokale Variationsmethode32

Kapitel 5:Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit63

Kapitel 6:Anwendungen des Prinzips der eindeutigen Fortsetzbarkeit81

Literaturverzeichnis88

Anmerkung: Eine vollständige [¿]