Contribution à l'étude des attracteurs des systèmes dynamiques

Les attracteurs chaotiques des systèmes dynamiques sont presque toujours identifiés grâce à des méthodes numériques. Le but de ce travail consiste donc à isoler ces objets, à localiser analytiquement leur domaine d'existence. Pour cela, on définit des régions bornées de l'espace des phases contenant les attracteurs grâce à une extension du principe d'invariance de LaSalle. Ensuite, lorsque cela est possible, nous mettons en évidence des trous au sein des attracteurs. De plus, nous montrons comment les résultats obtenus par ces localisations permettent d'obtenir des résultats sur la synchronisation identique de deux sous-systèmes couplés de façon bidirectionnelle. Plus précisément, on détermine une valeur minimale analytique au paramètre de couplage garantissant la synchronisation des systèmes. Ce travail est effectué dans le cadre des systèmes dynamiques continus, puis pour une autre classe de systèmes à second membre discontinu appelé systèmes de Filippov. Nous appliquons nos résultats sur des exemples concrets, accompagnés par des évidences numériques du caractère chaotique des systèmes. Enfin, les techniques issues de la théorie de l'indice de Conley sont présentées.