Bewertung von Barriere-Optionen unter Verwendung der Laplace-Transformation

Inhaltsangabe:Einleitung:

Neben den Europäischen Standard-Optionen sind die Barriere-Optionen ein beliebtes Finanzinstrument, insbesondere wegen ihres geringeren Preises gegenüber einer Standard-Option. Während sich der Preis einer Europäische Standard-Option relativ einfach mit Hilfe der Black-Scholes-Formel berechnen lässt, sind bei der Bewertung von Barriere-Optionen andere Hilfsmittel notwendig.

Barriere-Call-Optionen lassen sich auf den Spezialfall des Doppelbarriere-Knock-out-Calls zurückführen. Diese Arbeit leitet eine geschlossene Formel für die Laplace-Transformierte des Preises eines Doppelbarriere-Knock-out-Calls her. Mit Hilfe der numerischen Invertierung der Laplace-Transformation gelangt man dann zum Wert dieser Option.

Diese Methode der Bewertung unter Verwendung der Laplace-Transformation wird mit den Bewertungsmethoden von Kunitomo-Ikeda, mit der Bewertung durch eine Fourier-Reihe und der Bewertung durch Monte-Carlo-Simulation verglichen.

Die in der Studie erwähnte Excel-Applikation ist nicht im Lieferumfang enthalten, da sie für das Verständnis der Studie nicht notwendig ist.

Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:

1.Einleitung6

2.Stochastische Basisprozesse14

3.Ein stochastisches Finanzmarktmodell26

3.1Modellbeschreibung26

3.2Bewertung eines zukünftigen Zahlungsanspruchs33

3.3Das spezielle Finanzmarktmodell M0(P,Q)39

4.Zeittransformationen41

4.1Zeittransformationen und Laplace-Transformationen41

4.2Einige Laplace-Transformationen von Verteilungen47

5.Der Preis des Doppelbarriere-A-Calls53

5.1Die Europäische Call-Option und die Black-Scholes-Formel53

5.2Der Doppelbarriere-A-Call und ein Zusammenhang mit dem Europäischen Standard-Call55

5.3Eine explizite Formel für64

5.4Numerische Berechnung73

6.Weitere Bewertungsmethoden77

6.1Die Formel von Kunitomo und Ikeda77

6.2Bewertung mithilfe einer Fourier-Reihe79

6.3Die Monte-Carlo-Simulation80

6.4Vergleich der Methoden81

7.Zusammenfassung und Ausblick84

A.Markov-Prozesse88

B.Weitere Eigenschaften des Wiener-Prozesses91

C.Die Black-Scholes-Formel98

D.Invertierung der Laplace-Transformation100

E.Preise verschiedener Doppelbarriere-A-Calls105

Literatur109

Anlagen: Applikation zur Bewertung116