Algebraische Topologie

Quelle: Wikipedia. Seiten: 52. Kapitel: Homologietheorie, Chernklasse, Garbe, Singuläre Homologie, Abbildungsgrad, Fundamentalgruppe, K-Theorie, Überlagerung, Homotopie, Simpliziale Menge, Gromov-Witten-Invariante, Faserbündel, Simplex, Euler-Charakteristik, Homotopiegruppe, Satz von Borsuk-Ulam, Modellkategorie, Kettenkomplex, Satz von Seifert und van Kampen, Schnittzahl, Fixpunktsatz von Lefschetz, Kelley-Raum, Abbildungskegel, Thom-Raum, Bettizahl, Fixpunktsatz von Brouwer, Stack, Kohomologie, Simplizialkomplex, Prinzipalbündel, Todd-Klasse, Universelles Koeffiziententheorem, Retraktion, Gysin-Sequenz, Zellkomplex, H-Raum, Faserung, Bündelgerbe, Kontrahierbarkeit, Punktierter topologischer Raum, Charakteristische Klasse, Poincaré-Dualität, Freudenthalscher Einhängungssatz. Auszug: Der Begriff der Homologietheorie stammt aus der algebraischen Topologie und charakterisiert axiomatisch die Weise, wie beispielsweise die Singuläre Homologie oder die Bordismustheorien topologischen Räumen abelsche Gruppen zuordnen (Homologiegruppen, siehe Homologie (Mathematik)). Es seien für alle Funktoren von der Kategorie der topologischen Raumpaare (d. h. Paaren von topologischen Räumen (X,A), so dass ) in die Kategorie der abelschen Gruppen. Für eine Abbildung f sei dabei abkürzend mit bezeichnet. Dabei ist eine Abbildung f von einem Raumpaar (X,A) in ein Raumpaar (Y,B) eine stetige Abbildung von X nach Y, so dass . Weiterhin sei für jedes eine natürliche Transformation von dem Funktor zu dem Funktor definiert, wobei P derjenige Funktor von der Kategorie der Raumpaare in sich selbst ist, der jedem Raumpaar (X,A) das Raumpaar zuordnet. Jedem Raumpaar (X,A) ordnet also einen Homomorphismus zu. Hier und im Folgenden bezeichnet A verkürzend das Raumpaar . Ausgeschrieben bilden diese Bedingungen die ersten drei Eilenberg-Steenrod-Axiome: 1) Wenn gleich der Identität ist, so ist auch gleich der Identität 2) Für zwei Abbildungen und gilt 3) Die mehr inhaltlich-topologischen Axiome, die direkt am Modell der singulären und simplizialen Homologie gestaltet wurden, sind die folgenden drei: 4) Exaktheits-Axiom: Es existiert eine lange exakte Sequenz von Gruppen: Die Abbildungen und sind dabei jeweils von den entsprechenden Inklusionen induziert. Die Abbildung ist durch die natürliche Transformation definiert. 5) Homotopie-Axiom: Es seien zwei stetige Abbildung, die homotop sind. Dann sind die beiden induzierten Gruppenhomomorphismen identisch. 6) Ausschneidungs-Axiom: Sei (X,A) ein Raumpaar und , so dass der Abschluss von B enthalten ist im Inneren von A. Dann ist die von der Inklusion induzierte Abbildung ein Isomorphismus. Eine Familie von Funktoren und natürlichen Transformationen, die die oben genannten Axiome erfüllen, nennt man Homologietheorie oder auch verallgemei