Abschätzung der Anzahl der Lösungen eines Polynoms vom Grad n in Fp

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2019 im Fachbereich Mathematik - Algebra, Note: 2,7, Ruhr-Universität Bochum (Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: Ziel dieser Arbeit ist es Fragen, wie nach der Anzahl der Nullstellen eines Polynoms vom Grad n in einem endlichen Körper oder die der Lösungen einer beliebigen Gleichung (a_1)x+(a_2)x^2+...+(a_n)x^n=b in einem endlichen Körper, zu beantworten.

Als erstes werden endliche Körper betrachtet, ihre Definition, sowie ihre Eigenschaften und Konstruktionen. Des Weiteren werden die sogenannten multiplikativen Charakter, Gauß-Summen und Jacobi-Summen eingeführt. Sie liefern Ergebnisse, die bei der Ermittlung der Anzahl der Lösungen von einem beliebigen Polynom vom Grad n und beliebigen Gleichungen eine zentrale Rolle spielen werden.

Im letzten Kapitel werden Anwendungen dieser Ergebnisse auf zwei spezifische Gleichungen vorgestellt. Auch werden sie für einen alternativen Beweis des Gesetzes der quadratischen Reziprozität genutzt. So wird aufgezeigt, wo Gauß-, sowie Jacobi-Summen darüber hinaus noch Verwendung finden.