A Génese da Geometria Hiperbólica

Neste trabalho começa-se por fazer uma análise sobre a origem da geometria dedutiva, desde Tales de Mileto até ao seu expoente mais alto na Antiguidade Grega ¿ Os Elementos de Euclides ¿, passando pela Escola Pitagórica, por Hipócrates de Quios e por Aristóteles. Em virtude de o postulado das paralelas ter sido importante para a descoberta da Geometria Hiperbólica, é contada a sua história de forma breve. Na sua obra ¿Euclides Livre de Todos os Erros¿ (1733), Gerolamo Saccheri, antecipou a descoberta da geometria não-euclidiana, por isso é feita uma análise do essencial do seu trabalho. Tal análise é complementada com uma descrição do trabalho de Lambert, que também descobriu resultados importantes, do ponto de vista de uma geometria alternativa à euclidiana. A descoberta da primeira geometria não-euclidiana é devida a Gauss, Lobachevsky e Johann Bolyai. Por isso, faz-se uma descrição do papel de Gauss, seguida de uma análise detalhada do essencial do pequeno livro de Lobachevsky, publicado em 1840 com o título ¿Investigações Geométricas Sobre a Teoria das Paralelas¿, e de uma comparação sumária das ideias de Lobachevsky e de J. Bolyai.