Zufallsvariable

Quelle: Wikipedia. Seiten: 54. Kapitel: Standardabweichung, Median, Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz, Korrelationskoeffizient, Erwartungswert, Kovarianz, Bedingter Erwartungswert, Rangkorrelationskoeffizient, Standardfehler, Entropieschätzung, Bernstein-Ungleichung, Relative Häufigkeit, Tschebyschow-Ungleichung, Moment, Fehlerfunktion, Kreuzvalidierungsverfahren, Kerndichteschätzer, Chernoff-Ungleichung, Borel-Cantelli-Lemma, Momenterzeugende Funktion, Cramér-Rao-Ungleichung, Schiefe, Wölbung, Gesetz der kleinen Zahlen, Fehlerintegral, Markow-Ungleichung, Variationskoeffizient, Satz von Cochran, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Kovarianzmatrix, Bootstrapping, Eintrittswahrscheinlichkeit, Fisher-Information, Standardisierung, Parameter, Kullback-Leibler-Divergenz, Realisierung, Satz von Cramér-Wold, Satz von Rao-Blackwell, Ordnungsstatistik, Kollektives Modell, Gliwenko-Cantelli-Satz, Bimodale Verteilung, Cornish-Fisher-Methode, Satz von Lehmann¿Scheffé, Kreuzentropie, Formel von Wald, Quellentropie, Perplexität. Auszug: Bedingte Erwartungswerte und bedingte Wahrscheinlichkeiten, gegeben eine Zufallsvariable oder Teil-s-Algebra, stellen eine Verallgemeinerung von bedingten Wahrscheinlichkeiten dar. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der stochastischen Prozesse und werden unter anderem bei der Formulierung von Martingalen verwendet. Die Bildung des bedingten Erwartungswertes ist gewissermaßen eine Glättung einer Zufallsvariablen auf einer Teil-s-Algebra. s-Algebren modellieren verfügbare Information, und eine geglättete Version der Zufallsvariable, die schon auf einer Teil-s-Algebra messbar ist, enthält weniger Information über den Ausgang eines Zufallsexperimentes. Mit der Bildung der bedingten Erwartung geht eine Reduktion der Beobachtungstiefe einher, die bedingte Erwartung reduziert die Information über eine Zufallsvariable auf eine in Hinsicht der Messbarkeit einfachere Zufallsvariable, ähnlich wie als Extremfall der Erwartungswert einer Zufallsvariablen die Information auf eine einzelne Zahl reduziert. Das in einigen Aspekten sehr alte Konzept (schon Laplace hat bedingte Dichten berechnet) wurde von Kolmogorow 1933 unter Verwendung des Satz von Radon-Nikodym formalisiert. In Arbeiten von Paul Halmos 1950 und Joseph Doob 1953 wurden bedingte Erwartungen auf das heutige allgemeine Setting von Teil-s-Algebren auf abstrakten Räumen übertragen. Wenn ein Ereignis mit gegeben ist, gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit an, wie wahrscheinlich das Ereignis ist, wenn man Information über das Eintreten von erhalten hat. Entsprechend gibt der bedingte Erwartungswert ,an, welchen Wert man für die Zufallsvariable im Mittel erwartet, wenn man Information über das Eintreten von erhalten hat. Hierbei ist die Indikatorfunktion von , d. h. eine Zufallsvariable, die den Wert annimmt, wenn eintritt, und , wenn nicht. Beispiel: ist das Ergebnis beim Werfen eines regelmäßigen Würfels, eine Zahl zwischen 1 und 6. Das Ereignis, dass man eine 5 oder 6 würfelt, bezeichnen wir mit . Dann ist .Di