Philosophie der Mathematik

Quelle: Wikipedia. Seiten: 29. Kapitel: Grundlagenkrise der Mathematik, Konventionalismus, Die Grundlagen der Arithmetik, Permanenzprinzip, Vermutung, Was es gibt, Grundlagen der Mathematik, Konstruktive Mathematik, Intuitionismus, Berry-Paradoxon, Hilbertprogramm, Principia Mathematica, Logizismus, Axiomatisierung, Grundgesetz der Werthverläufe, Metamathematik, Hilberts 24. Problem, Humes Prinzip, Ultrafinitismus, Formalismus, Freges Theorem. Auszug: Die Grundlagenkrise der Mathematik war eine Phase der Verunsicherung der mathematischen Öffentlichkeit zu Beginn des 20. Jahrhunderts, die mit der Publikation der Russellschen Antinomie 1903 begann und um das Jahr 1930 endete. In den 20er Jahren gipfelte die Krise im Grundlagenstreit der Mathematik, der im wesentlichen von den Hauptvertretern des Formalismus und Intuitionismus, David Hilbert und Luitzen E. J. Brouwer, ausgetragen wurde. An dessen Ende hatte sich der Eindruck durchgesetzt, dass die klassische Mathematik aufgrund der Grundlagenprobleme keine Einschnitte in ihren Bestand vornehmen muss. Als erste Grundlagenkrise der Mathematik wurde früher die Entdeckung der Irrationalzahlen und damit der Inkommensurabilität durch den Pythagoreer Hippasos von Metapont bezeichnet. Man ging davon aus, dass dadurch eine zuvor herrschende fundamentale Überzeugung beseitigt worden sei, wonach alle Phänomene als ganzzahlige Zahlenverhältnisse ausdrückbar seien und es somit keine Inkommensurabilität geben könne. Tatsächlich ist jedoch die Existenz einer solchen Überzeugung bei den frühen Pythagoreern nicht belegt. Daher gibt es keinen Grund, eine mathematische oder philosophische Krise durch die Entdeckung anzunehmen, vielmehr sprechen deutliche Indizien dagegen. Gelegentlich wird auch die Unsicherheit der Mathematiker im 18. und frühen 19. Jahrhundert beim Rechnen mit infinitesimalen Größen als Grundlagenkrise betrachtet. Die Bezeichnung Grundlagenkrise verdient dieser Vorläufer jedoch insofern nicht, als damals noch kein Grundlagenbewusstsein in der mathematischen Öffentlichkeit bestand. Dieses Bewusstsein entwickelte sich erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts in der Folge der Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrien. Durch diese wurde erstmals deutlich, dass es nicht nur eine Mathematik, sondern mehrere unterschiedliche Mathematiken geben kann, dass gewisse Sätze in einem Mathematiksystem wahr, in einem anderen falsch sein können. Man begann dadurch stärker d