Modélisation variationnelle par homogénéisation stochastique

Notre but est de proposer un mode¿le mathe¿matique d¿un mate¿riau composite ale¿atoirement renforce¿. Pour cela nous effectuons une e¿tude asymptotique variationnelle afin d¿obtenir une structure homoge¿ne et de¿terministe rendant compte du comportement me¿canique de ce mate¿riau. La strate¿gie de mode¿lisation consiste ä de¿couper (suivant une direction x3) un cube en fines plaques d¿e¿paisseur h(¿) de¿pendant d¿un tre¿s petit parame¿tre ¿ << 1. Pour h(¿) assez petit, nous supposerons que dans chaque plaque les fibres sont verticales. Notre proble¿me initial est alors de¿compose¿ en n mode¿les de type plaque donnant une formulation 2-dimensionnelle apre¿s passage ä la limite. Le mode¿le obtenu est de¿terministe. Puis, en utilisant ce re¿sultat pour chacune des plaques, on obtient ainsi une e¿nergie discre¿te, somme des n e¿nergies 2-dimensionnelles homoge¿nes et de¿terministes. Nous reconstruisons alors une structure 3D par une inte¿gration variationnelle en x3, i.e. en passant ä la limite en n de manie¿re variationnelle. L¿e¿nergie limite, homoge¿ne et de¿terministe ainsi obtenue est propose¿e comme un mode¿le . Nos diffe¿rents re¿sultats sont valide¿s nume¿riquement.