Mathematik für Ökonomen I

Im ersten Kapitel haben wir den Funktionsbegriff und die wichtigen Begriffe des Grenzwertes und der Stetigkeit einer Funk­ tion eingeführt. Will man die Anwendungsmöglichkeiten des Funk­ tionsbegriffs erweitern und seine Aussagekraft vertiefen, so müssen wir das Verhalten der Funktionen näher untersuchen. Wir müssen vor allem die Art und Weise, wie sich der Funktionswert f(x) ändert, wenn x einen bestimmten Bereich durchläuft, näher be­ trachten. Besondere Bedeutung kommt der durchschnittlichen Än­ derung einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu. Unter der durchschnittlichen Änderung der Funktion f im Intervall x :::; ~ :::; x + Li x verstehen wir den Quotienten f(x + Li x) - f(x) Lif(x) Lix ~. Läßt man die Intervallänge Lix gegen 0 streben, so strebt unter .. d d D h h . Lif(x) . b· U mstan en er ure se mttswert ~ gegen emen estImmten Grenzwert. Derartige Grenzwerte, die in der Mathematik und in der Wirtschaftswissenschaft große Bedeutung besitzen, bilden den Ge­ genstand dieses Kapitels. 2.2 Der Differentialquotient 2.2.1 Definition des Differentialquotienten Die Funktion f sei im Intervall a:::; x:::; b definiert. Sind x und x + Li x zwei Punkte des Intervalls, so betrachten wir zunächst die ¿¿ 00 Lif(x) f(x + Lix) - f(x) durchschmtthche Anderung ~ = Lix von f 1m Intervall x:::;~:::;x+Lix (bzw. x+Lix:::;~:::;x). Lif(x) Man nennt auch einen DijJerenzenquotienten von f an der Stelle x. Lix 67 Die geometrische Bedeutung des Differenzenquotienten läßt sich aus der Abb. 46 leicht ablesen. Es gilt: tgtp = Af(x) .