Linear Extension Graphs and Linear Extension Diameter

Die Dissertation beschäftigt sich mit einer Graphenstruktur auf den linearen Erweiterungen einer partiellen Ordnung, und insbesondere mit dem Durchmesser dieser Graphen.

Eine partielle Ordnung, oder ein Poset P, ist eine (endliche) Menge, versehen mit einer Ordnungsrelation. Eine lineare Erweiterung erweitert die partielle Ordnung der Grundmenge von P zu einer vollständigen Ordnung. Wir interes sieren uns für die Menge aller linearen Erweiterungen eines gegebenen Posets P.

Der Lineare Erweiterungs-Graph G(P) hat als Knoten die linearen Erweiterungen von P, wobei zwei lineare Erweiterungen adjazent sind, wenn sie sich in genau einer adjazenten Transposition unterscheiden.

Kapitel 1 dient der Bereitstellung von Grundlagen und Notation. In Kapitel 2 untersuchen wir Eigenschaften von Linearen Erweiterungs-Graphen und Zusammenhänge mit dem zugrundeliegenden Poset. Kapitel 3 liefert einen Rekonstruktionsalgorithmus, der zu einem gegebenen Linearen Erweiterungs-Graphen alle zugehörigen Posets konstruiert. Wir zeigen außerdem, dass der Algorithmus auch zur Erkennung von Linearen Erweiterungs-Graphen verwendet werden kann.

In Kapitel 4 wenden wir uns dem zweiten Teil des Titels dieser Arbeit zu. Der Lineare Erweiterungs-Durchmesser eines Posets P ist der Durchmesser von G(P). Wir zeigen, dass es im Allgemeinen NP-vollständig ist, den linearen Erweiterungs-Durchmesser eines Posets in polynomieller Zeit (in der Größe des Posets) zu bestimmen, aber polynomiell lösbar für Posets der Weite 3. Kapitel 5 enthält die gewichtigsten Resultate der Dissertation. Wir beweissen eine Formel für den linearen Erweiterungs Durchmesser von Boole¿schen für Verbänden, und charakterisieren die diametralen Paare von linearen Erweiterungen. Dies beweist eine Vermutung von Felsner und Reuter aus dem Jahre 1999. Danach verallgemeinern wir die Ergebnisse auf die Klasse von Ideal-Verbänden von 2-dimensionalen Posets. In Kapitel 6 beschäftigen wir uns mit einer Poset-Eigenschaft, die wir diametral reversierend nennen. Wir zeigen, dass nicht alle, aber fast alle Posets diametral reversierend sind.