Intervall

Quelle: Wikipedia. Seiten: 27. Kapitel: Pythagoreisches Komma, Quinte, Halbton, Cent, Sexte, Quarte, Prime, Ganzton, Septime, Tritonus, Diësis, Wolfsquinte, None, Tonstruktur, Oktave, Sekunde, Terz, Hexachord, Savart, Millioktave, Mikrointervall, Naturseptime, Picardische Terz, Limma, Tredezime, Alphorn-Fa, Naturterz, Undezime, Flatted fifth, Duodezime, Apotome, Ditonus, Diapason, Diapente, Diatessaron, Epogdoon, Heptachord. Auszug: Die Grundlage der Beschreibung des Tonvorrats einer Musikkultur erfolgt seit der Antike einerseits über die Angabe von Tonhöhen andererseits über den Begriff des Intervalls. Im Lichte der moderne Mathematik handelt es sich dabei um eine Struktur. Ähnlich wie die Struktur des Raumes sich mit Hilfe von Punkten und Vektoren beschreiben lässt, beschreibt eine Tonstruktur ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen. Das Intervall im Sinn einer mathematischen Größe wird zwischen zwei beliebigen Tönen gebildet, unabhängig davon, ob die Töne gleichzeitig oder direkt nacheinander erklingen. Den Intervallgrößenbereich kann man als Tonhöhenraum auffassen, in dem Intervalle wie Vektoren und Tonhöhen wie Punkte betrachtet werden. Der Größenbereich wird dann auf natürliche Weise zur Tonstruktur. Genauer: Bei einer Tonstruktur hat man einerseite eine Menge von Tönen, zum Beispiel: ..., c, d, e, f, ... und anderserseits eine Menge von Intervallen zum Beispiel: Oktave, Quinte, große Terz, ... Jedem Tonpaar wird ein eindeutiges Intervall von zu zuordnet. Beispiel: ( , ): Ist umgekehrt der Grundton und das Intervall bekannt, so ist durch der Endton eindeutig bestimmt. Intervalle kann man nach folgender Vorschrift (wie bei Vektoren) addieren: Ist und , dann ist . Töne und Intervalle kann man vergleichen ("Der Ton ist höher als der Ton ". "Das Intervall ist größer als das Intervall ".) Wir schreiben , wenn der Endton von höher als der Endton von bei gleichem Grundton ist. Zum Beispiel: , da zum Beispiel und und der Ton höher ist als der Ton . Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen, wie im folgenden Abschnitt präzisiert wird. Der Intervallraum ist eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Folgerung: Jedes Intervall i lässt sich mit der Oktave vergleichen, d.h. zu jedem Intervall i existiert genau eine reelle Zahl r mit .Dies soll im Folgenden erläutert werden. (Zur Verdeutlichung auch mit der Untereinheit Cent, wobei 1 Okt