Graphes de Steinhaus réguliers et triangles de Steinhaus équilibrés

Les graphes de Steinhaus forment une famille de graphes simples construits à partir de suites binaires finies de 0 et de 1. La forme des suites binaires engendrant des graphes de Steinhaus réguliers a été conjecturée en 1979 par W. M. Dymacek. Dans la première partie de ce livre, grâce à de nouvelles méthodes d''algèbre linéaire développées dans ce cadre par l''auteur, on parvient à vérifier cette conjecture jusqu''à plus de 1500 sommets, dans le cas où le nombre de sommets du graphe est impair. Ceci améliore d''un facteur 12 la borne précédemment connue (117 sommets en 2007). La seconde partie de ce livre traite des triangles de Steinhaus modulo n. En 1978, J. C. Molluzzo pose le problème de savoir s''il existe, pour tout entier n positif et pour toute longueur admissible m, une suite de longueur m équilibrée modulo n, c''est-à-dire une suite dont le triangle de Steinhaus associé contient chaque reste modulo n avec la même multiplicité. Une réponse complète à ce problème est donnée dans ce livre dans le cas où n est une puissance de 3. Ce résultat, qui est novateur dans ce domaine, provient de l''étude des triangles associés aux suites à progression arithmétique.