Courbes elliptiques et applications

Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans différents domaines : en mécanique classique, en Théorie des Nombres et en cryptologie. En particulier, compter les points d'une courbe elliptique sur un corps fini et factoriser un entier sont très importants pour les méthodes de cryptage. Dans ce livre nous présentons l'algorithme de Schoof, ainsi que sa démonstration détaillée et deux exemples d'application. Cet algorithme permet de dénombrer les points d'une courbe elliptique sur un corps fini. Nous présentons également de façon détaillée les méthodes qui permettent d'étudier la primalité et la factorisation des grands nombres entiers en utilisant les courbes elliptiques. Notamment, l'algorithme de Goldwasser-Kilian basé sur le critère de Pocklington-Lehmer ainsi que la méthode de factorisation qui a été découverte par H. W. Lenstra. Des exemples explicites sont étudiés. Tous les exemples ont été étudiés en utilisant le logiciel algébrique SAGE qui a pour ambition de devenir une alternative libre aux logiciels propriétaires comme Magma, Maple, Mathematica ou Matlab.