Approximation diophantienne

Source: Wikipedia. Pages: 38. Chapitres: Fraction continue, Approximant de Padé, Fraction continue d'un nombre quadratique, Fraction continue et approximation diophantienne, Approximant de Padé de la fonction exponentielle, Nombre normal, Développement décimal, Nombre de Liouville, Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing, Théorème de Hurwitz, Algorithme de Lanczos, Développement en série de Engel, Théorème de Gelfond-Schneider, Théorème de Liouville, Constante de Khintchine, Théorème de Baker, Constante de Lévy, Théorème de Roth, Nombre de Stoneham, Lemme de Siegel. Extrait: En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, l'approximant de Padé est une méthode d'approximation d'une fonction analytique par une fonction rationnelle. En ce sens, elle est un peu analogue à un développement limité qui approche la fonction selon les mêmes critères à l'aide d'un polynôme. De même que les développements limités forment en une suite appelée série entière, convergeant vers la fonction initiale, les approximants de Padé sont souvent vus comme une suite, s'exprimant sous la forme d'une fraction continue dont la limite est aussi la fonction initiale. En ce sens, ces approximants font partie de la vaste théorie des fractions continues. En analyse complexe, les approximants offrent un développement dont le domaine de convergence est parfois plus large que celui d'une série entière. Ils permettent ainsi de prolonger des fonctions analytiques et d'étudier certains aspects de la question des série divergentes. En théorie analytique des nombres, l'approximant permet de mettre en évidence la nature d'un nombre ou d'une fonction arithmétique comme celle appelée zêta de Riemann. Dans le domaine du calcul numérique, l'approximant joue un rôle, par exemple pour évaluer le comportement d'une solution d'un système dynamique à l'aide de la théorie des perturbations. L'approximant de Padé est utilisé pour la première fois par Leonhard Euler (1707 - 1783), pour démontrer l'irrationalité de e, la base du logarithme népérien. Une technique analogue permet à Johann Heinrich Lambert (1707 - 1777) de montrer celle de p. Cette notion est développée plus systématiquement par Henri Padé (1863 - 1953) et érigée en théorie à part entière. Charles Hermite utilise ce qui est maintenant appelé un approximant de Padé pour démontrer la transcendance de e en 1873Il s'avère utile de pouvoir approcher une fonction donnée par une suite de fonctions aisément calculables. Cette démarche est à l'origine de la théorie des séries entières consistant à approcher de plus en plus p